Forgó világ

Ez az eszmefuttatás csak igen röviden és csak néhány kérdést tárgyal – amennyi egy egy-alkalmas előadásban egyáltalán bemutatható. A korlátozott terjedelem indokolja az esetenkénti nagyvonalúságot és a kevésbé precíz tárgyalásmódot. A diákhoz az előadáson szóbeli magyarázatot fűztem – erre itt nincs lehetőség. A szóbeli magyarázatot valamelyest pótolandó viszont az ábrákat láttam el kis magyarázatokkal.

 

1. A forgás hatásai

Az ember egy forgó világban él, a forgás hatásainak ismerete fontos része a környező történések megértésének. A forgó világban hármféle jelenséggel találkozunk:
a forgás következtében előáll a centrifugális erő, ez egy potenciálos erőteret alkot, vagyis egy ilyen világban, ha benne vagyunk, van forgási helyzeti energiánk;
amennyiben sebességünk is van ebben a forgó világban és az nem párhuzamos a forgás szögsebességével, akkor fellép a Coriolis erő, illetve a Coriolis gyorsulás;
ha a világ szögsebességével nem párhuzamos szögsebességgel forgó mozgást is végzünk, akkor találkozunk a precesszió jelenségével.
 
2. Néhány szó Föld forgásáról
 
1. ábra – a Föld
 
Az ábrán látható a Föld néhány jellemző adata – például a szögsebesség, ami meglehetősen kicsi és a Föld sugara, ami viszont elég nagy. Az „F” pont földrajzi koordinátái Budapest egy pontját jelölik ki, itt egy pl. 100 kg tömegű testre közelítőleg 2.5 Newton centrifugális erő hat.
 
A kerületi sebesség az „F” pontban 1230 km/h, ehhez képest az egyenlítő pontjainak (átlagos) kerületi sebessége 1670 km/h.
 
3. A forgási helyzeti energia
  
2. ábra – A centrifugális erőtér potenciálja
 
A forgó világban a magára hagyott test – hasonlóan a nehézségi erőtérhez – sugárirányban „leeshet”, vagyis a középponttól kifele mozdul el. Másrészt, a középpont irányába mozgatni erővel és ezzel munka befektetésével lehet. Ezt fejezi ki a 2. ábrán bemutatott „U” mennyiség.
 
Az ábrán van egy példa is, ami szerint egy 10 m/s sebességgel, 40 méteres sugarú körön forduló repülőre nagyjából százszoros centrifugális erő hat, illetve például (ebben a rendszerben) a helyzeti energia változásának szempontjából 5 méter sugárirányú elmozdulás 1.33 méter függőleges magasságváltozásnak felel meg.
 
4. A Coriolis gyorsulás, illetve a Coriolis erő
 
Egy forgó rendszerben, ha a rendszerhez képest mozog egy test és a mozgás sebessége nem párhuzamos a forgás szögsebességével, akkor van nem nulla Coriolis erő vagy gyorsulás. A gyorsulást a 3. ábrán látható vektori szorzattal számíthatjuk. Az erőt a tömeg és a gyorsulás szorzásával, de negatív előjellel számítjuk – mivel ez tehetetlenségi típusú erő.
 
A sugárirányban, kifele mozgó pont „alatt” helyről helyre nagyobb lesz a kerületi sebesség, vagyis az egyenes menti mozgás, ebben a világban kényszer hatása alatt jöhet csak létre. Ez a kényszer valamilyen erőt jelent. Megjegyzendő, hogy a magára hagyott pont pályáján kívül minden más pálya kényszerpálya, aminek befutása csak a megfelelő erőhatás fellépése esetén jöhet létre.
 
 
3. ábra – a Coriolis gyorsulás és a Coriolis erő
 
Másrészt a magára hagyott pont az ábra szerinti görbe pálya mentén mozog, hiszen a kerületi sebessége állandó, az alatta lévő világé viszont, a sugár mentén kifelé haladva növekszik. E görbületet idézi elő a Coriolis erő, illetve az itt fellépő Coriolis gyorsulás és Coriolis erő együtt biztosítják, hogy ez a pálya erőmentes, másképp szabad pálya legyen.
 
A Föld északi féltekéjén a mozgások jobbra térnek el – ezt a tendenciát tapasztaljuk akár a levegő, akár a vizek mozgásában. A Földön, egy, a Föld szögsebességére merőlegesen, 300 m/s sebességgel mozgó repülőgép esetében a Coriolis gyorsulás 0.045 m/s^2 – ebből például 100 kg tömegre 4.5 N nagyságú Coriolis erő adódik.
 
4. ábra – Egy kis meteorológia
 
A tapasztalat és a meteorológusok szerint a szél, a fenti okok miatt általában az izobár vonalakkal párhuzamosan fúj. Ez azért, természetesen csak közelítés, illetve csak a megfelelő feltételek teljesülése esetén igaz (pl. „lassan változó áramlás” stb). Mindazonáltal ezt a jelenséget erősíti meg, hogy az időjárási frontok viszonylag hosszú ideig fennmaradnak, mivel a nyomáskiegyenlítődés a „merőleges” áralmás miatt csak lassan képes végbemenni.
 
A 10 m/s-mal, 40 méteres sugáron forduló repülő szögsebessége 0.25 1/s, de ezen a repülőn, mivel nincsenek (lényegesen) elmozduló részei (vagyis a saját rendszeréhez képest nem mozog), azért nincs Coriolis erő vagy gyorsulás.
 
5. A precesszió
 
 
5. ábra – A precesszió számítása és egy példa
 
Az 5. ábra első sorában a haladó és forgó mozgás vázlatos összevetése látható: a haladó mozgásban a mozgásmennyiség (mV) idő szerinti megváltozása egyenlő a testre ható erővel. A forgó mozgásban az erőnek a nyomaték (M), a tömegnek a tehetetlenségi nyomaték ( ), a mozgásmennyiségnek pedig a perdület ( ) felel meg.
 
A perdület idő szerinti teljes megváltozása a nyomatékkal egyenlő – de a teljes megváltozás két részből tevődik össze: az első a szöggyorsulásból származó perdület változás, a második a rendszer saját forgásából adódó perdület változás (ezt karikáztuk be). Ez utóbbit nevezzük precessziónak.
 
Az 5. ábra jobb alsó sarkában egy kerékpár vázlata látható – ezt kívánjuk elengedett kormánnyal vezetni. A kerék az ábrán jelzett szögsebességgel forog, a saját tengelye körül. Amennyiben a kerékpáros megdönti valamerre a teljes kerékpárt, akkor létrehozza a teljes kerékpár szögsebességét, ami az ábrán előre mutat. E két forgás eredőjeként egy, a kereket a kormány-tengely körül elfordító nyomaték keletkezik, és ez, a tapasztalat szerint éppen a kívánt irányba fordítja a kormányt. Ezt a jelenséget persze sok más esetben is tapasztalhatjuk.
A Föld – alakja elég közel van a gömbhöz – szintén végez precessziós mozgást, de ez enyhén szólva is nem túl intenzív: a Föld tengelye körülbelül 25920 év (ez az ún. világév) alatt fut be egy teljes periódust.
 
6. A légcsavar nyomatékai
  
6. ábra – Légcsavar vizsgálat
 
A 6. ábrán egy légcsavar modell látható, a légcsavart egy tárcsával modellezzük (a kör az ábrán), amelynek „x” és „z” tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát is feltüntettük. Ezek közelítőleg egy siklóernyőn vagy motoros repülőn alkalmazott légcsavar adatai.)
 
Kiszámítottuk – a képletnek megfelelően – a precessziós nyomatékot, arra az esetre, amikor a légcsavar a saját tengelye körül és a függőleges tengely körül is forog. A precessziós nyomaték értéke 19 Nm, összevethető a gyakorlati tapasztalattal!
 
Gázadáskor, illetve gázelvételkor is keletkezik nyomaték – ez a szöggyorsulásból származó nyomaték, amely nyomaték a motor-légcsavar tengely körül forgat. Ez a nyomaték hozzáadódik (vagy levonódik) az ábrán -val jelölt nyomatékhoz.
 
A számításból látható, hogy a precessziós nyomaték kifejezésébe a két tehetetlenségi nyomaték különbségét kell beírni. Minél nagyobb ez a különbség, annál nagyobb a precesszió – vagyis ezért alkalmaznak például lapos korong alakú pörgettyűket stb. A gömb esetében a két tehetetlenségi nyomaték egyenlő lévén, nincs precesszió – mivel a Föld csak közelítőleg gömb, ezért lehet precessziós mozgása, de az meglehetősen gyenge.
 
7. Autogiro rotor működése
 
Az autogirókat úgy kormányozzák, hogy a rotor-tengelyt a kívánt irányba (előre-hátra, vagy jobbra-balra döntjük). A 7. ábrán a létező legegyszerűbb elrendezés látható: a tengely egy gömbcsukló körül tetszőleges irányba dönthető, miközben a rotorlapátok a tengely felett elhelyezkedő vízszintes tengelyű csap körül billeghetnek. (Ezt nevezzük hintás rotoragynak.)
 
 
7. ábra – Hintás felfüggesztésű,
kormánytengely közvetlen döntésével vezérelt rotor
 
A probléma a következő: tegyük fel, hogy a pilóta a kormányt maga felé húzza és ezzel a rotorsík előre billenését kívánja előidézni. De ha a rotorlapátok előre-hátra állnak, akkor a hinta-csukló miatt a tengely döntése nem dönti a lapátokat. Vagyis ezen az úton nem jön létre a kívánt előre billenés.
 
Igaz viszont az, hogy a jobbra-balra álló lapátokat ez a tengelymozgás elforgatja – ezt a mozgást átviszi a hinta-csukló. Emiatt a „B” helyen lévő lapát beállítási szöge lecsökken; a „D” helyen lévőé viszont megnő. Az így létrejövő aerodinamikai nyomaték a „B” helyen lefelé, a „D” helyen felfele lendítő nyomatékot ad – itt lesz a legnagyobb a le- illetve felfele mozgás sebessége.
 
A lapátok tehát a „B” pontban (a legnagyobb sebességgel) lefele mozognak és ez a lefele mozgás ugyan csökkenő mértékben, de tovább tart egészen a „C” pontig. Ez lesz a legalacsonyabb pont. Innen kezdve felfele mozog a lapát és a „D” pontban eléri a legnagyobb felfele sebességet. Ezután lassul a felfele mozgás és az „A” pontban a lapát eléri a legmagasabb helyzetét. Végeredményben a rotorsík valóban előrefele billen.
 
A rotorlapátok tehát a forgó mozgással egyidejűleg ún. csapkodó mozgást is végeznek, ennek szögsebessége nagyvonalúan fogalmazva, a fent vizsgált esetben a repülés irányával párhuzamos. A forgás és a csapkodás szögsebessége együtt létrehozza a mindkettőjükre merőleges, precessziós mozgást, ami más szavakkal a rotorsík előredőlését jelenti.
 
A rotorsík oldaldöntése, vagy bármely más döntése hasonló módon magyarázható, illetve jön létre.
 
8. Körözés szélben
  
8. ábra – Spirálozás szélben
 
Az előadás befejezéseként egy vitatott problémára térünk ki: tekintsünk egy szélcsendben spirálozó repülőt: ekkor, első közelítésben az állandó magasságvesztéstől eltekintve azt látjuk, hogy a gép állandó magasságban repül, miközben a sebességének az abszolút értéke állandó.
 
A 8. ábrán a helyzet annyiban más csak, hogy az előbbi repülő állandó sebességű szélben spirálozik. Ekkor, ha a megfigyelő a Földön áll, azt látja, hogy a repülő ciklois pályán mozog. Ennek az ábrán látható módon van egy hátszeles, legnagyobb sebességű és egy pontosan szembeszeles, legkisebb sebességű pontja.
 
Ugyanakkor, ha a megfigyelő együtt mozog a széllel, akkor pontosan ugyanazt látja, amit a szélcsendes esetben látott.
 
Elhangzik egy állítás: a Földön álló megfigyelő kis és nagy sebességet lát, emiatt a Földhöz kötött koordináta rendszerben változik a repülő mozgási energiája. Ez a mozgási energia változás viszont helyzeti energia változásban kell kifejeződjön, azaz a repülő repülési magasságának a sebesség csökkenésekor növekednie, növekedésekor csökkennie kellene.
 
A fenti állítás csak részben igaz: a mozgási energia valóban változik, de mivel a repülő forgó centrifugális erőtérben mozog, ezért az energiák közé a centrifugális erőtér helyzeti energiáját is be kell számítani. És valóban: ott, ahol a sebesség kicsi, a forduló sugara is kicsi, vagyis a repülő közelebb került a centrifugális erőtér középpontjához, a helyzeti energiája ebben az erőtérben nőtt meg – nem a repülés magassága növekedett. Továbbá, amikor a repülés sebessége a legnagyobb, akkor a repülő a legnagyobb sugáron repül, tehát a pillanatnyi forgásponttól a legtávolabb van – ekkor a legkisebb a centrifugális erőtérbeli helyzeti energiája. Vagyis: a mozgási energia és a centrifugális erőtérbeli helyzeti energia cserélődik periodikusan – a magasságnak nem kell és nem is szabad változnia.
 
Ezen a módon azonos fizikai jelenséget a különböző nézőpontokból (álló, illetve együttmozgó megfigyelő) valóban azonosnak látunk: semelyik megfigyelő sem tapasztal magasság változást!
 
E példa kapcsán egy fontos megjegyzést kell tenni. A fizika tanítása szerint az inercia rendszerek ekvivalensek, azaz egymástól nem különböztethetők meg. Amennyiben az egyenletes szélben spirálozó repülőgép magasságváltozásából meg tudnánk határozni e rendszer sebességét (a Földhöz viszonyítva), akkor egy módszert definiálnánk, ami szerint a fenti fizikai alaptétel nem igaz, az egyes inercia rendszerek belülről megkülönböztethetők egymástól. Ha ez az állítás igaz lenne, akkor a jelenlegi teljes fizika tudásunk érvényét veszítené!
Gausz Tamás

 

 

Ez az eszmefuttatás csak igen röviden és csak néhány kérdést tárgyal – amennyi egy egy-alkalmas előadásban egyáltalán bemutatható. A korlátozott terjedelem indokolja az esetenkénti nagyvonalúságot és a kevésbé precíz tárgyalásmódot. A diákhoz az előadáson szóbeli magyarázatot fűztem – erre itt nincs lehetőség. A szóbeli magyarázatot valamelyest pótolandó viszont az ábrákat láttam el kis magyarázatokkal.